Análise Fatorial Confirmatória (CFA)

• CFA é um caso especial dos Modelos de Equações Estruturais (SEM).

Principais aplicações:

• Avaliar a estrutura de escalas de pesquisas — os itens são carregados onde seria esperado?

• Avaliar o ajuste/adequação de um modelo fatorial — o modelo proposto é melhor do que as alternativas?

• Avaliar os pesos dos itens uns em relação aos outros e a uma escala – eles contribuem igualmente?

• Modelar outros efeitos, como efeitos de métodos e relacionamentos hierárquicos.

CFA: Avaliação de Escala - PIES

• Começamos considerando uma escala de pesquisa que busca avaliar o envolvimento com um produto.

• CHAPMAN et al. (2014) proposuream esta escala.

• Usando os itens exibidos na Fig. 1, esta escala reflete uma teoria em que o envolvimento com um produto é uma construção hierárquica que compreende 3 fatores:

1. Envolvimento geral com uma categoria de produto,
2. Envolvimento com as características do produto, e;
3. Envolvimento com a categoria em termos de imagem pessoal.

• Neste instrumento, três subescalas refletem os 3 fatores que podem levar a pontuações mais altas ou mais baixas dependendo de como os consumidores veem um produto.

CFA: Avaliação de Escala - PIES

• Por exemplo, profissionais de marketing, esperariam que câmeras digitais envolvessem os consumidores em termos das suas características técnicas e, assim, obtivessem uma pontuação elevada no envolvimento com as características.

• Por outro lado, o vestuário é um componente-chave de imagem pessoal e pode-se esperar que obtenha uma pontuação elevada em termos de envolvimento com a imagem.

• Um produto genérico como papel pode apresentar um baixo envolvimento do consumidor em todos os 3 factores, enquanto automóveis pode ter um envolvimento relativamente elevado em todos os três fatores.

• Este modelo foi proposto como uma alternativa a um modelo de fator único de envolvimento com um produto, onde o envolvimento é simplesmente alto ou baixo em geral, sem diferenciação entre fatores como envolvimento com características ou imagem.

CFA: Avaliação de Escala - PIES

• O modelo de 3-fatores foi denominado PIES como uma abreviatura de “Product Involvement and Enthusiasm Scale”.

Pode ser usado em muitas situações de marketing:

• Por exemplo, se avaliarmos que uma categoria de produto tem alto envolvimento em características, podemos desenvolver estratégias de comunicação e de posicionamento que enfatizem as especificações técnicas.

• Também pode ser usado para informar a segmentação:

• Se concluirmos que um determinado grupo demográfico considera a categoria de produto importante para sua imagem pessoal, então podemos direcioná-los com campanhas que destacam o produto em termos de imagem pessoal.

Simulando dados

O primeiro passo é instalar os pacotes e disponibilizá-los em R:

# install.packages(c("lavaan", "semTools", "semPlot"))
library(lavaan)
library(semTools)
library(semPlot)

Com o pacote lavaan, um modelo estrutural pode ser especificado usando uma sintaxe similar às fórmulas de um modelo linear de R.

Vamos especificar dois modelos:

• um modelo estrutural que ajustaremos aos dados e cuja estrutura desejamos avaliar, e;

• um modelo de dados que usaremos apenas para gerar dados simulados para fins de teste.

Modelo Estrutural

O modelo estrutural é especificado de acordo com o modelo mostrado na Fig. 3, escrito como uma string simples:

# especifica o modelo estrutural
piesModel <- "General =~ i1 + i2 + i3
              Feature =~ i3 + i4 + i5 + i6  + i7
              Image =~ i3 + i8 + i9 + i10 + i11 
              PIES =~ General + Feature + Image"

• Em código SEM, lemos o símbolo =∼ como é manifestado por, o que significa que é estimado como uma única variável que é composta pelos itens.

• Cada linha nesta fórmula define uma nova variável latente: General, Feature e assim por diante – que não aparece no conjunto de dados mas que o lavaan estimará com base nos itens observados i1, i2, etc.

• Podemos então utilizar estas variáveis latentes noutras partes da fórmula para expressar relações adicionais.

• Por exemplo, neste código a variável latente PIES relaciona-se, por sua vez, com as outras variáveis latentes General, Feature e Image.

• Tais relações entre variáveis latentes são um diferenciador chave entre SEM e a modelagem linear regular.

• As fórmulas piesModel dizem que PIES se manifesta por três fatores: General, Feature e Image, e cada um deles é manifestado por 3 ou 4 dos itens i1 a i11, conforme definido na Fig. 1.

Simulando Dados

Em seguida, simulamos dados semelhantes aos que poderiam resultar de uma pesquisa PIES com consumidores

# especifica o modelo gerador de dados
piesDataModel <- "General =~ 0.9*i1 + 0.7*i2 + 0.5*i3
                  Feature =~ 0.7*i4 + 0.9*i5 + 0.5*i6  + 0.9*i7
                  Image   =~ 0.8*i8 + 0.9*i9 + 0.8*i10 + 0.7*i11 
                  PIES =~ 0.7*General + 0.8*Feature + 0.8*Image"

Simulamos dados com essa estrutura fatorial:

• fixando uma semente para ogerador de números (pseudo)aleatório e;

• usando simulaData(MODEL, sample.nobs), onde sample.nobs é o número de observações (N).

• Escolhemos N = 3600 para aproximar os dados relatados no paper de CHAPMAN et al. (2014).

if (getRversion() >= "3.6.0") suppressWarnings(RNGversion("3.5.0"))
set.seed(10001) 
piesSimData.norm <- lavaan::simulateData(piesDataModel, sample.nobs = 3600)
print(head(piesSimData.norm), digits = 2)

     i1    i2     i3    i4    i5    i6    i7     i8    i9    i10    i11
1  2.48 -0.46  0.482 -2.34 -1.87 -1.20 -0.76  1.540  0.49  0.043  0.640
2  0.66  1.30  0.038 -0.20  0.88 -0.53  1.37 -0.076  1.55 -1.491  0.377
3 -1.14 -2.06  0.099  1.47 -0.78 -0.81 -1.61 -1.590 -0.40  0.370  0.045
4  1.00 -1.02  1.614 -1.93 -0.52  0.42 -2.96 -1.717 -0.76 -0.973 -1.846
5 -0.51 -0.63 -0.765  0.17  0.98 -0.82  0.26 -1.166 -2.23 -0.805  0.171
6 -0.37 -0.46  0.038 -0.59 -0.73 -1.93  0.62  1.777  1.03  1.761  2.737

Simulando Dados

• Cada linha representa um conjunto de respostas hipotéticas da pesquisa de um entrevistado.

• Observe que os dados gerados são contínuos (extraídos de uma distribuição normal com valores decimais), portanto ainda não são apropriados para PIES;

• Porque itens PIES são pontuações do tipo Likert entre 1 e 7.

• Para converter os dados contínuos em dados de pesquisa discretos, usaremos a função cut(data, breaks = k) que divide dados contínuos em K grupos, expressos como K níveis de fator.

• Poderíamos fazer isso separadamente para cada uma das 11 colunas de dados, mas é mais eficiente fazê-lo de uma forma que seja generalizável.

Simulando Dados

piesSimData <- data.frame(lapply(piesSimData.norm, function(x) {
  cut(x, breaks = 7, labels = FALSE)
}))

head(piesSimData)

  i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9 i10 i11
1  5  4  4  2  2  3  3  5  4   4   4
2  4  5  4  4  4  4  5  4  5   3   4
3  3  2  4  5  3  4  3  4  4   4   4
4  4  3  5  3  3  5  2  3  4   3   3
5  3  3  3  4  4  4  4  4  3   3   4
6  3  4  4  4  3  3  4  6  5   5   6

• Usamos cut() para converter um vetor de dados numéricos contínuos em 7 intervalos, usamos labels = FALSE para manter o resultado como números inteiros em vez de valores nominais rotulados.

• Em seguida, incluímos isso em uma função anônima que pode ser usada repetidamente por lapply().

• Aplicamos essa função de recodificação anônima a cada uma das colunas do do conjunto de dados usando lapply() e armazenamos o resultado em uma nova data frame chamada piesSimData.

Dados Simulados

Vamos verificar a qualidade dos dados simulados.

1. Vamos selecionar aleatoriamente 10 observações de piesSimData usando a função some() do pacote car:

car::some(piesSimData)

     i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9 i10 i11
11    3  2  5  4  3  4  2  4  4   2   4
709   2  3  3  4  3  3  4  4  4   4   4
1392  3  4  4  3  3  5  3  5  4   4   4
1705  4  2  4  4  3  5  3  5  5   5   3
2638  5  6  5  4  5  5  4  5  4   4   5
2792  2  2  3  4  3  4  3  5  3   4   3
3003  3  3  3  4  4  5  5  3  3   3   3
3305  5  4  4  4  3  3  3  4  3   3   2
3550  3  4  6  3  3  4  4  3  4   2   2
3553  5  4  5  5  5  4  4  3  3   3   3

2. Analisando estatísticas descritivas usano a função describe() do pacote psych:

psych::describe(piesSimData)

    vars    n mean   sd median trimmed  mad min max range  skew kurtosis   se
i1     1 3600 3.73 0.97      4    3.75 1.48   1   7     6  0.01    -0.08 0.02
i2     2 3600 3.92 0.99      4    3.92 1.48   1   7     6  0.04    -0.02 0.02
i3     3 3600 4.08 0.95      4    4.09 1.48   1   7     6 -0.09     0.04 0.02
i4     4 3600 3.95 1.05      4    3.96 1.48   1   7     6 -0.01    -0.11 0.02
i5     5 3600 3.65 1.07      4    3.67 1.48   1   7     6  0.00    -0.17 0.02
i6     6 3600 4.31 1.06      4    4.29 1.48   1   7     6  0.04    -0.07 0.02
i7     7 3600 3.92 1.02      4    3.92 1.48   1   7     6  0.05    -0.09 0.02
i8     8 3600 4.47 0.90      4    4.47 1.48   1   7     6  0.01    -0.05 0.01
i9     9 3600 4.14 1.06      4    4.12 1.48   1   7     6  0.02    -0.02 0.02
i10   10 3600 3.76 1.05      4    3.78 1.48   1   7     6  0.03     0.00 0.02
i11   11 3600 3.92 0.98      4    3.92 1.48   1   7     6  0.04    -0.01 0.02

• Podemos verificar que o conjunto de dados compreende valores discretos de 1 a 7, com média aproximada igual a 4.

Dados Simulados

Podemos Visualizar as relações entre os itens usando a função PerformanceAnalytics::chart.Correlation, selecionando um subconjunto dos itens – dois itens de cada fator – para tornar a inspeção mais fácil:

PerformanceAnalytics::chart.Correlation(piesSimData[, c(1, 2, 4, 5, 8, 9)])

Analisando os gráficos de dispersão, vemos o esperado:

• os itens são discretos, conforme mostrado nos gráficos de densidade na diagonal, e;

• os itens têm maior correlação dentro de uma subescala, como entre i1 vs. i2, do que entre as subescalas, como i1 vs. i4.

Dados Simulados

Como são dados simulados de um modelo fatorial, também podemos fazer uma rápida inspeção da estrutura fatorial aparente.

Embora usemos CFA para fazer um teste forte de estrutura fatorial, é útil realizar uma breve verificação usando a função factanal() para realizar uma EFA

factanal(piesSimData, factors = 3)

Call:
factanal(x = piesSimData, factors = 3)

Uniquenesses:
   i1    i2    i3    i4    i5    i6    i7    i8    i9   i10   i11 
0.488 0.610 0.733 0.599 0.466 0.729 0.473 0.545 0.503 0.514 0.575 

Loadings:
    Factor1 Factor2 Factor3
i1  0.113   0.128   0.695  
i2  0.106   0.117   0.604  
i3  0.101           0.500  
i4  0.128   0.616          
i5  0.129   0.708   0.125  
i6          0.501   0.111  
i7  0.149   0.701   0.120  
i8  0.642   0.151   0.143  
i9  0.682   0.128   0.124  
i10 0.680   0.114          
i11 0.636   0.121          

               Factor1 Factor2 Factor3
SS loadings      1.841   1.727   1.197
Proportion Var   0.167   0.157   0.109
Cumulative Var   0.167   0.324   0.433

Test of the hypothesis that 3 factors are sufficient.
The chi square statistic is 10.8 on 25 degrees of freedom.
The p-value is 0.994 

Vemos três fatores plausíveis compreendendo os itens i8–i11, i4–i7 e i1–i3, respectivamente, como seria de esperar (a ordem dos fatores é irrelevante).

• Para recapitular, os dados simulados – criados usando poucas funções em R – têm o tipo de estrutura que se poderia esperar de uma pesquisa que utilizou o instrumento (Fig. 1) proposto pelo modelo PIES.

• Passamos agora para a CFA.

Estimando o Modelo CFA para PIES

• A avaliação da CFA começa definindo o modelo que desejamos avaliar.

• Nesse caso, modelamos os três fatores PIES (variáveis latentes): General, Feature e Image como manifestados pelos itens i1–i11.

• Em seguida, modelamos a variável latente PIES geral como a combinação dos outros três fatores.

library(lavaan)
piesModel <- "General =~ i1 + i2 + i3
              Feature =~ i4 + i5 + i6 + i7
              Image =~ i8 + i9 + i10 + i11 
              PIES =~ General + Feature + Image"

• Ajustamos este modelo aos dados usando cfa(MODEL, data=DATA) e inspecionamos o resultado com summary(FIT, fit.measures=TRUE).

Estimando o Modelo CFA para PIES

pies.fit <- cfa(piesModel , data = piesSimData)
summary(pies.fit, fit.measures = TRUE)

lavaan 0.6.16 ended normally after 43 iterations

  Estimator                                         ML
  Optimization method                           NLMINB
  Number of model parameters                        25

  Number of observations                          3600

Model Test User Model:
                                                      
  Test statistic                                34.709
  Degrees of freedom                                41
  P-value (Chi-square)                           0.745

Model Test Baseline Model:

  Test statistic                              9001.774
  Degrees of freedom                                55
  P-value                                        0.000

User Model versus Baseline Model:

  Comparative Fit Index (CFI)                    1.000
  Tucker-Lewis Index (TLI)                       1.001

Loglikelihood and Information Criteria:

  Loglikelihood user model (H0)             -51984.514
  Loglikelihood unrestricted model (H1)     -51967.160
                                                      
  Akaike (AIC)                              104019.029
  Bayesian (BIC)                            104173.746
  Sample-size adjusted Bayesian (SABIC)     104094.308

Root Mean Square Error of Approximation:

  RMSEA                                          0.000
  90 Percent confidence interval - lower         0.000
  90 Percent confidence interval - upper         0.008
  P-value H_0: RMSEA <= 0.050                    1.000
  P-value H_0: RMSEA >= 0.080                    0.000

Standardized Root Mean Square Residual:

  SRMR                                           0.011

Parameter Estimates:

  Standard errors                             Standard
  Information                                 Expected
  Information saturated (h1) model          Structured

Latent Variables:
                   Estimate  Std.Err  z-value  P(>|z|)
  General =~                                          
    i1                1.000                           
    i2                0.894    0.040   22.528    0.000
    i3                0.706    0.033   21.285    0.000
  Feature =~                                          
    i4                1.000                           
    i5                1.187    0.039   30.802    0.000
    i6                0.838    0.034   24.724    0.000
    i7                1.131    0.037   30.805    0.000
  Image =~                                            
    i8                1.000                           
    i9                1.218    0.037   32.753    0.000
    i10               1.185    0.037   32.386    0.000
    i11               1.038    0.033   30.983    0.000
  PIES =~                                             
    General           1.000                           
    Feature           1.046    0.083   12.638    0.000
    Image             0.963    0.075   12.812    0.000

Variances:
                   Estimate  Std.Err  z-value  P(>|z|)
   .i1                0.463    0.022   20.807    0.000
   .i2                0.600    0.021   28.196    0.000
   .i3                0.659    0.019   34.957    0.000
   .i4                0.663    0.019   34.157    0.000
   .i5                0.537    0.019   27.727    0.000
   .i6                0.815    0.022   37.794    0.000
   .i7                0.486    0.018   27.712    0.000
   .i8                0.434    0.014   32.112    0.000
   .i9                0.563    0.018   30.582    0.000
   .i10               0.574    0.018   31.436    0.000
   .i11               0.557    0.016   33.806    0.000
   .General           0.325    0.024   13.616    0.000
   .Feature           0.260    0.020   13.011    0.000
   .Image             0.229    0.016   13.954    0.000
    PIES              0.157    0.017    9.118    0.000

Índices de Qualidade do Ajuste

Teste de \(\chi^2\)

Em geral, o objetivo é estimar parâmetros que levam a uma matriz de variância-covariância implícita do modelo,\(\Sigma\), minimizando:

\[ F_{ML} = \text{traço}(S\Sigma^{-1}) - \ln|S\Sigma^{-1}| - p \]

Esta expressão é proporcional à razão de log-verossimilhança entre o modelo testado e o modelo baseline, otimizando esta expressão obtemos das estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros.

O pacote lavaan reporta \(fmin\), que é igual a \(FML/2\). Se n é o tamanho da amostra, então podemos definir:

\[ T = nF_{ML} \]

Se \(V(X) = \Sigma\) (o modelo é verdadeiro), então \(T \sim \chi^2(df)\)

# Matrizes do Modelo
n <- nrow(piesSimData)
S <- (n - 1)/n * cov(piesSimData[,c("i1","i2","i3","i4","i5", "i6","i7","i8","i9","i10","i11")])
Sigma <- lavaan::lavInspect(pies.fit, "sigma")

# fmin = F_ml / 2:
F_ml <- sum(diag(S %*% solve(Sigma))) - log(det(S %*% solve(Sigma))) - ncol(S)
F_ml

[1] 0.009641314

# Chi-quadrado reportado pelo lavaan:
nrow(piesSimData) * F_ml

[1] 34.70873

fitMeasures(pies.fit)['chisq']

   chisq 
34.70873 

• O teste \(\chi^2\) indica a diferença entre as matrizes de covariância observadas e esperadas.

\[ \begin{cases} H_0: & V(X) = \Sigma, \\ H_A: & V(X) \neq \Sigma, \end{cases} \]

• Não queremos rejeitar \(H_0\), desejamos \(valor-p \geq 0.05\)

• Mas, caso \(valor-p \leq 0.05\), rejeitamos \(H_0\), ou seja, rejeitamos o modelo proposto como um modelo adequado para a estrutura de correlação entre os itens.

• Uma dificuldade com o teste qui-quadrado de ajuste do modelo, no entanto, é que os pesquisadores podem deixar de rejeitar um modelo inadequado com amostras pequenas e rejeitar um modelo apropriado com amostras grandes.

• Como resultado, outras medidas de ajuste foram desenvolvidas.

Comparative Fit Index

• O Comparative Fit Index (CFI) mede o ajuste do modelo examinando a discrepância entre os dados e o modelo hipotético, mas ajusta para as questões de tamanho da amostra inerentes ao teste qui-quadrado.

• Os valores de CFI variam de 0 a 1, com valores maiores indicando melhor ajuste.

• Um valor \(CFI \geq .95\) é atualmente aceito como um indicador de bom ajuste.

\[ \hat{CFI} = \frac{\max(\chi^2_0 - df_0, 0) - \max(\chi^2_k - df_k, 0)}{\max(\chi^2_0 - df_0, 0)} \] Cálculo manual:

((9001.774 - 55) - (34.709 - 41))/(9001.774 - 55)

[1] 1.000703

Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA)

• O RMSEA evita problemas de tamanho da amostra analisando a discrepância entre o modelo hipotético, com estimativas de parâmetros escolhidas de forma otimizada.

• O RMSEA varia de 0 a 1, com valores menores indicando melhor ajuste do modelo.

• Um \(RMSEA \leq 0,06\) é um indicativo de ajuste aceitável do modelo.

\[ \hat{RMSEA} = \sqrt{\frac{T_{M} - df_{M}}{n df(n)}} \]

fitMeasures(pies.fit)['rmsea']

rmsea 
    0 

Modelo CFA Estimado para PIES: Resultado

• Os resultados da estimação do Modelo da CFA indicam que modelo PIES se ajusta bem aos dados.

• os índices de qualidade do ajuste são bons (por exemplo, CFI = 1,00) e os resíduos são baixos (RMSEA = 0,000).

• A parte inferior dos resultados mostra que os parâmetros do modelo para os caminhos dos fatores para os itens, e para o fator PIES de nível superior aos três subfatores, são todos estatisticamente significativos (“P(>|z|)” = 0).

• Além disso, os parâmetros são semelhantes entre si em magnitude (variando de 0,838 a 1,218) e estão próximos de 1,0, uma coisa boa segundo CHAPMAN et al. (2014), porque os itens são destinados a serem usados em subescalas aditivas simples.

• Se fossem dados reais, a CFA estabeleceria que o modelo hierárquico PIES se ajusta bem e – como as cargas fatoriais dos itens estão em torno de 1,0 – é razoável somar os itens como uma soma simples para formar pontuações de subescalas, como é comum para tais pesquisas.

Visualizando o Modelo CFA Estimado

• O modelo final com as estimativas de parâmetros pode ser visualizado com a função semPlot::semPaths().

• Este gráfico expressa algumas das informações cruciais da saída da estimacão do modelo CFA de uma forma mais legível.

• A versão gráfica facilita ver as relações entre as variáveis latentes e m anifestas e para navegar pelos valores dos coeficientes

library(semPlot)
semPaths(pies.fit, what = "est", fade = FALSE, residuals = FALSE, edge.label.cex = 0.75)

Avaliando o modelo CFA PIES

• O modelo PIES ajusta-se muito bem aos dados. Se fossem dados reais, estaríamos satifeitos, certo?

• Não! Um erro comum com CFA/EM é propor um modelo, ajustar aos dados e depois afirmar, com base em índices de ajuste, que o modelo é “bom”.

• O problema é que algum outro modelo, e talvez mais razoável, pode ser tão bom ou até melhor. Assim, há uma segunda etapa importante: avaliar se o modelo proposto se ajusta melhor do que um modelo alternativo razoável.

• Testaremos o modelo PIES hierárquico (“PIES 3+1”) contra duas alternativas.

1. O primeiro é um modelo de fator único onde um fator de envolvimento subjacente se manifesta em todos os itens, chamaremos este modelo de “PIES 1”.

É um bom modelo alternativo ao hierárquico, por ser mais simples e porque se concentra no fator superior da hierarquia, avaliando se é vantajoso adicionar as complicações dos subfatores do “PIES 3+1”.

Comparando os Modelos

• Para interpretar as comparações, começamos inspecionando a segunda metade do relatório: “Model Fit Indices”.

• O modelo não hierárquico de três fatores (PIES 3) (pies.fit.NH3), apresentou bom ajuste: CFI=0,994, RMSEA=0,019.

• Mas quando comparamos PIES 3 COM o modelo PIES 3+1 (pies.fit), os índices da qualidade do ajuste são melhores (CFI = 1,000, RMSEA = 0,000).

• O modelo PIES 3+1 é melhor que o modelo PIES 3? Passamos para a parte superior do relatório para examinar a comparação dos modelos: “Nested Modelo Comparison”.

• Os resultados do teste de \(\chi^2\) indicam que nào há diferença estatisticamente significativa entre os modelos PIES 3 + 1 E PIES 3, mas que ambos apresentam ajuste melhor que o modelo com fator único, PIES 1.

• Entretanto, o modelo PIES 3 + 1 apresentou critérios de informação de Akaike (aic) e Bayesiano (bic) um pouquinho melhores que os modelos PIES 3 e PIES 1.

• Portanto, o modelo hierárquico fatorial PIES apresentou um ajuste marginalmente superior aos dois modelos alternativos.

• Mas, há alguma coisa errada ou com o modelo ou, mais provavelmente, com a simulação de dados para testar o modelo realizada por CHAPMAN et al. (2014).